Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14336 / 30719
↖ ↑ ↗
← S 82.674884°
W 22.500000°		 ← 155.76 m → S 82.674884°
W 22.489013°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
S 82.676285°
W 22.500000°		 ← 155.73 m →
24 260 m²		 S 82.676285°
W 22.489013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437515258789062 y=0.937484741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437515258789062 × 215)
    floor (0.437515258789062 × 32768)
    floor (14336.5)     		tx = 14336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937484741210938 × 215)
    floor (0.937484741210938 × 32768)
    floor (30719.5)     		ty = 30719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14336 / 30719 ti = "15/14336/30719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14336/30719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14336 ÷ 215
    14336 ÷ 32768     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30719 ÷ 215
    30719 ÷ 32768     		y = 0.937469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.87493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.74870182421402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74870182421402))-π/2
    2×atan(0.0640109046990386)-π/2
    2×0.0639236929967807-π/2
    0.127847385993561-1.57079632675     		φ = -1.44294894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44294894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.674884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14336 KachelY 30719 -0.39269908 -1.44294894 -22.500000 -82.674884
    Oben rechts KachelX + 1 14337 KachelY 30719 -0.39250733 -1.44294894 -22.489013 -82.674884
    Unten links KachelX 14336 KachelY + 1 30720 -0.39269908 -1.44297339 -22.500000 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 14337 KachelY + 1 30720 -0.39250733 -1.44297339 -22.489013 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44294894--1.44297339) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44294894--1.44297339) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.39250733) × cos(-1.44294894) × R
    0.000191749999999991 × 0.127499394696448 × 6371000     		do = 155.758264912415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.39250733) × cos(-1.44297339) × R
    0.000191749999999991 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 155.728639558262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44294894)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127499394696448-0.127475144203388)×R²
    abs(-0.39250733--0.39269908)×2.4250493059319e-05×R²
    0.000191749999999991×2.4250493059319e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.4250493059319e-05×40589641000000     		ar = 24260.3055115411m²