Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14336 / 30720
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
W 22.500000°		 ← 155.73 m → S 82.676285°
W 22.489013°		 →
↑
155.71 m
↓
↑
155.71 m
↓
S 82.677686°
W 22.500000°		 ← 155.70 m →
24 246 m²		 S 82.677686°
W 22.489013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437515258789062 y=0.937515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437515258789062 × 215)
    floor (0.437515258789062 × 32768)
    floor (14336.5)     		tx = 14336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937515258789062 × 215)
    floor (0.937515258789062 × 32768)
    floor (30720.5)     		ty = 30720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14336 / 30720 ti = "15/14336/30720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14336/30720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14336 ÷ 215
    14336 ÷ 32768     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30720 ÷ 215
    30720 ÷ 32768     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14336 KachelY 30720 -0.39269908 -1.44297339 -22.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 14337 KachelY 30720 -0.39250733 -1.44297339 -22.489013 -82.676285
    Unten links KachelX 14336 KachelY + 1 30721 -0.39269908 -1.44299783 -22.500000 -82.677686
    Unten rechts KachelX + 1 14337 KachelY + 1 30721 -0.39250733 -1.44299783 -22.489013 -82.677686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.44299783) × R
    2.44400000000145e-05 × 6371000     		dl = 155.707240000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.44299783) × R
    2.44400000000145e-05 × 6371000     		dr = 155.707240000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.39250733) × cos(-1.44297339) × R
    0.000191749999999991 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 155.728639558262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.39250733) × cos(-1.44299783) × R
    0.000191749999999991 × 0.127450903552573 × 6371000     		du = 155.69902622778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.44299783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127450903552573)×R²
    abs(-0.39250733--0.39269908)×2.42406508155213e-05×R²
    0.000191749999999991×2.42406508155213e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.42406508155213e-05×40589641000000     		ar = 24245.7711513577m²