Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14338 / 14338
↖ ↑ ↗
← N 21.922663°
W 22.478028°		 ← 1 133.30 m → N 21.922663°
W 22.467041°		 →
↑
1 133.27 m
↓
↑
1 133.27 m
↓
N 21.912471°
W 22.478028°		 ← 1 133.38 m →
1 284 386 m²		 N 21.912471°
W 22.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437576293945312 y=0.437576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437576293945312 × 215)
    floor (0.437576293945312 × 32768)
    floor (14338.5)     		tx = 14338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437576293945312 × 215)
    floor (0.437576293945312 × 32768)
    floor (14338.5)     		ty = 14338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14338 / 14338 ti = "15/14338/14338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14338/14338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14338 ÷ 215
    14338 ÷ 32768     		x = 0.43756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14338 ÷ 215
    14338 ÷ 32768     		y = 0.43756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.39231558649054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39231559} λ = -0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39231558649054))-π/2
    2×atan(1.48040483345567)-π/2
    2×0.976709490296529-π/2
    1.95341898059306-1.57079632675     		φ = 0.38262265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38262265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.922663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14338 KachelY 14338 -0.39231559 0.38262265 -22.478028 21.922663
    Oben rechts KachelX + 1 14339 KachelY 14338 -0.39212384 0.38262265 -22.467041 21.922663
    Unten links KachelX 14338 KachelY + 1 14339 -0.39231559 0.38244477 -22.478028 21.912471
    Unten rechts KachelX + 1 14339 KachelY + 1 14339 -0.39212384 0.38244477 -22.467041 21.912471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38262265-0.38244477) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dl = 1133.27348000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38262265-0.38244477) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dr = 1133.27348000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39231559--0.39212384) × cos(0.38262265) × R
    0.000191749999999991 × 0.927688648310687 × 6371000     		do = 1133.30086455573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39231559--0.39212384) × cos(0.38244477) × R
    0.000191749999999991 × 0.927755045977215 × 6371000     		du = 1133.38197855127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38262265)-sin(0.38244477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927688648310687-0.927755045977215)×R²
    abs(-0.39212384--0.39231559)×6.63976665281618e-05×R²
    0.000191749999999991×6.63976665281618e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.63976665281618e-05×40589641000000     		ar = 1284385.78021905m²