Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14338 / 30722
↖ ↑ ↗
← S 82.679085°
W 22.478028°		 ← 155.67 m → S 82.679085°
W 22.467041°		 →
↑
155.64 m
↓
↑
155.64 m
↓
S 82.680485°
W 22.478028°		 ← 155.64 m →
24 227 m²		 S 82.680485°
W 22.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437576293945312 y=0.937576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437576293945312 × 215)
    floor (0.437576293945312 × 32768)
    floor (14338.5)     		tx = 14338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937576293945312 × 215)
    floor (0.937576293945312 × 32768)
    floor (30722.5)     		ty = 30722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14338 / 30722 ti = "15/14338/30722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14338/30722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14338 ÷ 215
    14338 ÷ 32768     		x = 0.43756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30722 ÷ 215
    30722 ÷ 32768     		y = 0.93756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.8751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.74927706700946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39231559} λ = -0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74927706700946))-π/2
    2×atan(0.0639740934759913)-π/2
    2×0.0638870319023833-π/2
    0.127774063804767-1.57079632675     		φ = -1.44302226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44302226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.679085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14338 KachelY 30722 -0.39231559 -1.44302226 -22.478028 -82.679085
    Oben rechts KachelX + 1 14339 KachelY 30722 -0.39212384 -1.44302226 -22.467041 -82.679085
    Unten links KachelX 14338 KachelY + 1 30723 -0.39231559 -1.44304669 -22.478028 -82.680485
    Unten rechts KachelX + 1 14339 KachelY + 1 30723 -0.39212384 -1.44304669 -22.467041 -82.680485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44302226--1.44304669) × R
    2.44300000000752e-05 × 6371000     		dl = 155.643530000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44302226--1.44304669) × R
    2.44300000000752e-05 × 6371000     		dr = 155.643530000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39231559--0.39212384) × cos(-1.44302226) × R
    0.000191749999999991 × 0.127426672744109 × 6371000     		do = 155.669424921101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39231559--0.39212384) × cos(-1.44304669) × R
    0.000191749999999991 × 0.127402441859594 × 6371000     		du = 155.639823521515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44302226)-sin(-1.44304669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127426672744109-0.127402441859594)×R²
    abs(-0.39212384--0.39231559)×2.4230884515225e-05×R²
    0.000191749999999991×2.4230884515225e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.4230884515225e-05×40589641000000     		ar = 24226.6351762407m²