Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14338 / 6146
↖ ↑ ↗
← N 40.946714°
E135.043945°		 ← 1 845.46 m → N 40.946714°
E135.065918°		 →
↑
1 845.68 m
↓
↑
1 845.68 m
↓
N 40.930115°
E135.043945°		 ← 1 845.92 m →
3 406 546 m²		 N 40.930115°
E135.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875152587890625 y=0.375152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875152587890625 × 214)
    floor (0.875152587890625 × 16384)
    floor (14338.5)     		tx = 14338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375152587890625 × 214)
    floor (0.375152587890625 × 16384)
    floor (6146.5)     		ty = 6146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14338 / 6146 ti = "14/14338/6146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14338/6146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14338 ÷ 214
    14338 ÷ 16384     		x = 0.8751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6146 ÷ 214
    6146 ÷ 16384     		y = 0.3751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    0.750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35696148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.784631172981079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35696148} λ = 2.35696148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784631172981079))-π/2
    2×atan(2.19159847091892)-π/2
    2×1.14272564905248-π/2
    2.28545129810496-1.57079632675     		φ = 0.71465497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35696148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71465497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.946714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14338 KachelY 6146 2.35696148 0.71465497 135.043945 40.946714
    Oben rechts KachelX + 1 14339 KachelY 6146 2.35734498 0.71465497 135.065918 40.946714
    Unten links KachelX 14338 KachelY + 1 6147 2.35696148 0.71436527 135.043945 40.930115
    Unten rechts KachelX + 1 14339 KachelY + 1 6147 2.35734498 0.71436527 135.065918 40.930115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71465497-0.71436527) × R
    0.000289699999999948 × 6371000     		dl = 1845.67869999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71465497-0.71436527) × R
    0.000289699999999948 × 6371000     		dr = 1845.67869999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35696148-2.35734498) × cos(0.71465497) × R
    0.000383500000000314 × 0.755319403939046 × 6371000     		do = 1845.4556602786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35696148-2.35734498) × cos(0.71436527) × R
    0.000383500000000314 × 0.755509229119713 × 6371000     		du = 1845.91945606128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71465497)-sin(0.71436527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755319403939046-0.755509229119713)×R²
    abs(2.35734498-2.35696148)×0.00018982518066657×R²
    0.000383500000000314×0.00018982518066657×6371000²
    0.000383500000000314×0.00018982518066657×40589641000000     		ar = 3406546.23679418m²