Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14340 / 30724
↖ ↑ ↗
← S 82.681885°
W 22.456055°		 ← 155.61 m → S 82.681885°
W 22.445068°		 →
↑
155.58 m
↓
↑
155.58 m
↓
S 82.683284°
W 22.456055°		 ← 155.58 m →
24 208 m²		 S 82.683284°
W 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437637329101562 y=0.937637329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437637329101562 × 215)
    floor (0.437637329101562 × 32768)
    floor (14340.5)     		tx = 14340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937637329101562 × 215)
    floor (0.937637329101562 × 32768)
    floor (30724.5)     		ty = 30724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14340 / 30724 ti = "15/14340/30724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14340/30724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14340 ÷ 215
    14340 ÷ 32768     		x = 0.4376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30724 ÷ 215
    30724 ÷ 32768     		y = 0.9376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.74966056220642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39193209} λ = -0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74966056220642))-π/2
    2×atan(0.0639495644221012)-π/2
    2×0.0638626027908129-π/2
    0.127725205581626-1.57079632675     		φ = -1.44307112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44307112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.681885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14340 KachelY 30724 -0.39193209 -1.44307112 -22.456055 -82.681885
    Oben rechts KachelX + 1 14341 KachelY 30724 -0.39174034 -1.44307112 -22.445068 -82.681885
    Unten links KachelX 14340 KachelY + 1 30725 -0.39193209 -1.44309554 -22.456055 -82.683284
    Unten rechts KachelX + 1 14341 KachelY + 1 30725 -0.39174034 -1.44309554 -22.445068 -82.683284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44307112--1.44309554) × R
    2.4420000000136e-05 × 6371000     		dl = 155.579820000866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44307112--1.44309554) × R
    2.4420000000136e-05 × 6371000     		dr = 155.579820000866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39193209--0.39174034) × cos(-1.44307112) × R
    0.000191749999999991 × 0.127378210899042 × 6371000     		do = 155.61022202904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39193209--0.39174034) × cos(-1.44309554) × R
    0.000191749999999991 × 0.127353989781041 × 6371000     		du = 155.58063256061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44307112)-sin(-1.44309554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127378210899042-0.127353989781041)×R²
    abs(-0.39174034--0.39193209)×2.42211180014051e-05×R²
    0.000191749999999991×2.42211180014051e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.42211180014051e-05×40589641000000     		ar = 24207.5085722194m²