Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14340 / 6147
↖ ↑ ↗
← N 40.930115°
E135.087891°		 ← 1 845.92 m → N 40.930115°
E135.109864°		 →
↑
1 846.12 m
↓
↑
1 846.12 m
↓
N 40.913512°
E135.087891°		 ← 1 846.38 m →
3 408 226 m²		 N 40.913512°
E135.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875274658203125 y=0.375213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875274658203125 × 214)
    floor (0.875274658203125 × 16384)
    floor (14340.5)     		tx = 14340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375213623046875 × 214)
    floor (0.375213623046875 × 16384)
    floor (6147.5)     		ty = 6147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14340 / 6147 ti = "14/14340/6147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14340/6147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14340 ÷ 214
    14340 ÷ 16384     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6147 ÷ 214
    6147 ÷ 16384     		y = 0.37518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37518310546875 × 2 - 1) × π
    0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784247677784119))-π/2
    2×atan(2.19075816456868)-π/2
    2×1.14258080017148-π/2
    2.28516160034296-1.57079632675     		φ = 0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14340 KachelY 6147 2.35772847 0.71436527 135.087891 40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 14341 KachelY 6147 2.35811197 0.71436527 135.109864 40.930115
    Unten links KachelX 14340 KachelY + 1 6148 2.35772847 0.71407550 135.087891 40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 14341 KachelY + 1 6148 2.35811197 0.71407550 135.109864 40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71436527-0.71407550) × R
    0.000289770000000078 × 6371000     		dl = 1846.1246700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71436527-0.71407550) × R
    0.000289770000000078 × 6371000     		dr = 1846.1246700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35811197) × cos(0.71436527) × R
    0.00038349999999987 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 1845.91945605914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35811197) × cos(0.71407550) × R
    0.00038349999999987 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 1846.3832089315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71436527)-sin(0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.75569903673778)×R²
    abs(2.35811197-2.35772847)×0.000189807618067084×R²
    0.00038349999999987×0.000189807618067084×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189807618067084×40589641000000     		ar = 3408225.54332117m²