Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14341 / 6149
↖ ↑ ↗
← N 40.896906°
E135.109864°		 ← 1 846.80 m → N 40.896906°
E135.131836°		 →
↑
1 847.08 m
↓
↑
1 847.08 m
↓
N 40.880295°
E135.109864°		 ← 1 847.26 m →
3 411 614 m²		 N 40.880295°
E135.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875335693359375 y=0.375335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875335693359375 × 214)
    floor (0.875335693359375 × 16384)
    floor (14341.5)     		tx = 14341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375335693359375 × 214)
    floor (0.375335693359375 × 16384)
    floor (6149.5)     		ty = 6149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14341 / 6149 ti = "14/14341/6149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14341/6149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14341 ÷ 214
    14341 ÷ 16384     		x = 0.87530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6149 ÷ 214
    6149 ÷ 16384     		y = 0.37530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87530517578125 × 2 - 1) × π
    0.7506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35811197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.783480687390198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35811197} λ = 2.35811197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783480687390198))-π/2
    2×atan(2.18907851831967)-π/2
    2×1.14229099322231-π/2
    2.28458198644461-1.57079632675     		φ = 0.71378566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35811197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71378566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.896906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14341 KachelY 6149 2.35811197 0.71378566 135.109864 40.896906
    Oben rechts KachelX + 1 14342 KachelY 6149 2.35849546 0.71378566 135.131836 40.896906
    Unten links KachelX 14341 KachelY + 1 6150 2.35811197 0.71349574 135.109864 40.880295
    Unten rechts KachelX + 1 14342 KachelY + 1 6150 2.35849546 0.71349574 135.131836 40.880295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71378566-0.71349574) × R
    0.000289919999999944 × 6371000     		dl = 1847.08031999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71378566-0.71349574) × R
    0.000289919999999944 × 6371000     		dr = 1847.08031999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35811197-2.35849546) × cos(0.71378566) × R
    0.000383489999999931 × 0.75588882673133 × 6371000     		do = 1846.7987610654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35811197-2.35849546) × cos(0.71349574) × R
    0.000383489999999931 × 0.756078605583225 × 6371000     		du = 1847.26243156318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71378566)-sin(0.71349574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75588882673133-0.756078605583225)×R²
    abs(2.35849546-2.35811197)×0.000189778851895306×R²
    0.000383489999999931×0.000189778851895306×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189778851895306×40589641000000     		ar = 3411613.88878573m²