Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14342 / 6142
↖ ↑ ↗
← N 41.013066°
E135.131836°		 ← 1 843.60 m → N 41.013066°
E135.153809°		 →
↑
1 843.77 m
↓
↑
1 843.77 m
↓
N 40.996484°
E135.131836°		 ← 1 844.06 m →
3 399 598 m²		 N 40.996484°
E135.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875396728515625 y=0.374908447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875396728515625 × 214)
    floor (0.875396728515625 × 16384)
    floor (14342.5)     		tx = 14342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374908447265625 × 214)
    floor (0.374908447265625 × 16384)
    floor (6142.5)     		ty = 6142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14342 / 6142 ti = "14/14342/6142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14342/6142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14342 ÷ 214
    14342 ÷ 16384     		x = 0.8753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6142 ÷ 214
    6142 ÷ 16384     		y = 0.3748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8753662109375 × 2 - 1) × π
    0.750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35849546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35849546} λ = 2.35849546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.786165153768921))-π/2
    2×atan(2.19496292070891)-π/2
    2×1.14330468054912-π/2
    2.28660936109824-1.57079632675     		φ = 0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35849546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14342 KachelY 6142 2.35849546 0.71581303 135.131836 41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 14343 KachelY 6142 2.35887896 0.71581303 135.153809 41.013066
    Unten links KachelX 14342 KachelY + 1 6143 2.35849546 0.71552363 135.131836 40.996484
    Unten rechts KachelX + 1 14343 KachelY + 1 6143 2.35887896 0.71552363 135.153809 40.996484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71581303-0.71552363) × R
    0.000289399999999995 × 6371000     		dl = 1843.76739999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71581303-0.71552363) × R
    0.000289399999999995 × 6371000     		dr = 1843.76739999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35849546-2.35887896) × cos(0.71581303) × R
    0.000383500000000314 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 1843.60011520202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35849546-2.35887896) × cos(0.71552363) × R
    0.000383500000000314 × 0.754749836760443 × 6371000     		du = 1844.06404903681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71581303)-sin(0.71552363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754749836760443)×R²
    abs(2.35887896-2.35849546)×0.000189881683478665×R²
    0.000383500000000314×0.000189881683478665×6371000²
    0.000383500000000314×0.000189881683478665×40589641000000     		ar = 3399597.50781226m²