Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14344 / 30728
↖ ↑ ↗
← S 82.687480°
W 22.412109°		 ← 155.49 m → S 82.687480°
W 22.401123°		 →
↑
155.52 m
↓
↑
155.52 m
↓
S 82.688879°
W 22.412109°		 ← 155.46 m →
24 179 m²		 S 82.688879°
W 22.401123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437759399414062 y=0.937759399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437759399414062 × 215)
    floor (0.437759399414062 × 32768)
    floor (14344.5)     		tx = 14344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937759399414062 × 215)
    floor (0.937759399414062 × 32768)
    floor (30728.5)     		ty = 30728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14344 / 30728 ti = "15/14344/30728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14344/30728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14344 ÷ 215
    14344 ÷ 32768     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30728 ÷ 215
    30728 ÷ 32768     		y = 0.937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.87548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75042755260034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75042755260034))-π/2
    2×atan(0.0639005345256274)-π/2
    2×0.063813772435297-π/2
    0.127627544870594-1.57079632675     		φ = -1.44316878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44316878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.687480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14344 KachelY 30728 -0.39116510 -1.44316878 -22.412109 -82.687480
    Oben rechts KachelX + 1 14345 KachelY 30728 -0.39097335 -1.44316878 -22.401123 -82.687480
    Unten links KachelX 14344 KachelY + 1 30729 -0.39116510 -1.44319319 -22.412109 -82.688879
    Unten rechts KachelX + 1 14345 KachelY + 1 30729 -0.39097335 -1.44319319 -22.401123 -82.688879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44316878--1.44319319) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dl = 155.516109999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44316878--1.44319319) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dr = 155.516109999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39097335) × cos(-1.44316878) × R
    0.000191749999999991 × 0.127281345808753 × 6371000     		do = 155.491887832788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39097335) × cos(-1.44319319) × R
    0.000191749999999991 × 0.127257134305815 × 6371000     		du = 155.462310110497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44316878)-sin(-1.44319319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127281345808753-0.127257134305815)×R²
    abs(-0.39097335--0.39116510)×2.42115029380763e-05×R²
    0.000191749999999991×2.42115029380763e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.42115029380763e-05×40589641000000     		ar = 24179.1936275286m²