Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14344 / 6152
↖ ↑ ↗
← N 40.847060°
E135.175781°		 ← 1 848.24 m → N 40.847060°
E135.197754°		 →
↑
1 848.42 m
↓
↑
1 848.42 m
↓
N 40.830437°
E135.175781°		 ← 1 848.70 m →
3 416 745 m²		 N 40.830437°
E135.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875518798828125 y=0.375518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875518798828125 × 214)
    floor (0.875518798828125 × 16384)
    floor (14344.5)     		tx = 14344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375518798828125 × 214)
    floor (0.375518798828125 × 16384)
    floor (6152.5)     		ty = 6152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14344 / 6152 ti = "14/14344/6152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14344/6152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14344 ÷ 214
    14344 ÷ 16384     		x = 0.87548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6152 ÷ 214
    6152 ÷ 16384     		y = 0.37548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87548828125 × 2 - 1) × π
    0.7509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35926245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35926245} λ = 2.35926245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782330201799316))-π/2
    2×atan(2.18656146322248)-π/2
    2×1.14185600987614-π/2
    2.28371201975227-1.57079632675     		φ = 0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35926245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14344 KachelY 6152 2.35926245 0.71291569 135.175781 40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 14345 KachelY 6152 2.35964595 0.71291569 135.197754 40.847060
    Unten links KachelX 14344 KachelY + 1 6153 2.35926245 0.71262556 135.175781 40.830437
    Unten rechts KachelX + 1 14345 KachelY + 1 6153 2.35964595 0.71262556 135.197754 40.830437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71291569-0.71262556) × R
    0.00029013 × 6371000     		dl = 1848.41823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71291569-0.71262556) × R
    0.00029013 × 6371000     		dr = 1848.41823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35926245-2.35964595) × cos(0.71291569) × R
    0.00038349999999987 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 1848.23783623125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35926245-2.35964595) × cos(0.71262556) × R
    0.00038349999999987 × 0.756647835373912 × 6371000     		du = 1848.70138823999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71291569)-sin(0.71262556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.756647835373912)×R²
    abs(2.35964595-2.35926245)×0.000189725407373831×R²
    0.00038349999999987×0.000189725407373831×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189725407373831×40589641000000     		ar = 3416744.95282483m²