Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14346 / 6154
↖ ↑ ↗
← N 40.813809°
E135.219726°		 ← 1 849.16 m → N 40.813809°
E135.241699°		 →
↑
1 849.37 m
↓
↑
1 849.37 m
↓
N 40.797177°
E135.219726°		 ← 1 849.63 m →
3 420 226 m²		 N 40.797177°
E135.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875640869140625 y=0.375640869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875640869140625 × 214)
    floor (0.875640869140625 × 16384)
    floor (14346.5)     		tx = 14346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375640869140625 × 214)
    floor (0.375640869140625 × 16384)
    floor (6154.5)     		ty = 6154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14346 / 6154 ti = "14/14346/6154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14346/6154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14346 ÷ 214
    14346 ÷ 16384     		x = 0.8756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6154 ÷ 214
    6154 ÷ 16384     		y = 0.3756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    0.751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36002944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36002944} λ = 2.36002944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.781563211405396))-π/2
    2×atan(2.18488503456899)-π/2
    2×1.14156583906614-π/2
    2.28313167813228-1.57079632675     		φ = 0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36002944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14346 KachelY 6154 2.36002944 0.71233535 135.219726 40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 14347 KachelY 6154 2.36041294 0.71233535 135.241699 40.813809
    Unten links KachelX 14346 KachelY + 1 6155 2.36002944 0.71204507 135.219726 40.797177
    Unten rechts KachelX + 1 14347 KachelY + 1 6155 2.36041294 0.71204507 135.241699 40.797177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71233535-0.71204507) × R
    0.000290280000000087 × 6371000     		dl = 1849.37388000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71233535-0.71204507) × R
    0.000290280000000087 × 6371000     		dr = 1849.37388000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36002944-2.36041294) × cos(0.71233535) × R
    0.00038349999999987 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 1849.16491238827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36002944-2.36041294) × cos(0.71204507) × R
    0.00038349999999987 × 0.757027245377436 × 6371000     		du = 1849.62839254429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71233535)-sin(0.71204507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.757027245377436)×R²
    abs(2.36041294-2.36002944)×0.000189695999052275×R²
    0.00038349999999987×0.000189695999052275×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189695999052275×40589641000000     		ar = 3420225.8868487m²