Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14352 / 6192
↖ ↑ ↗
← N 40.178873°
E135.351562°		 ← 1 866.75 m → N 40.178873°
E135.373535°		 →
↑
1 866.96 m
↓
↑
1 866.96 m
↓
N 40.162083°
E135.351562°		 ← 1 867.21 m →
3 485 571 m²		 N 40.162083°
E135.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876007080078125 y=0.377960205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876007080078125 × 214)
    floor (0.876007080078125 × 16384)
    floor (14352.5)     		tx = 14352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377960205078125 × 214)
    floor (0.377960205078125 × 16384)
    floor (6192.5)     		ty = 6192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14352 / 6192 ti = "14/14352/6192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14352/6192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14352 ÷ 214
    14352 ÷ 16384     		x = 0.8759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6192 ÷ 214
    6192 ÷ 16384     		y = 0.3779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36233041} λ = 2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766990393920898))-π/2
    2×atan(2.1532759796213)-π/2
    2×1.13602497792759-π/2
    2.27204995585519-1.57079632675     		φ = 0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14352 KachelY 6192 2.36233041 0.70125363 135.351562 40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 14353 KachelY 6192 2.36271391 0.70125363 135.373535 40.178873
    Unten links KachelX 14352 KachelY + 1 6193 2.36233041 0.70096059 135.351562 40.162083
    Unten rechts KachelX + 1 14353 KachelY + 1 6193 2.36271391 0.70096059 135.373535 40.162083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70125363-0.70096059) × R
    0.000293039999999967 × 6371000     		dl = 1866.95783999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70125363-0.70096059) × R
    0.000293039999999967 × 6371000     		dr = 1866.95783999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36233041-2.36271391) × cos(0.70125363) × R
    0.00038349999999987 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 1866.74778650811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36233041-2.36271391) × cos(0.70096059) × R
    0.00038349999999987 × 0.764223005438881 × 6371000     		du = 1867.20963839357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70125363)-sin(0.70096059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.764223005438881)×R²
    abs(2.36271391-2.36233041)×0.000189029570496824×R²
    0.00038349999999987×0.000189029570496824×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189029570496824×40589641000000     		ar = 3485570.5692651m²