Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14354 / 6162
↖ ↑ ↗
← N 40.680638°
E135.395508°		 ← 1 852.87 m → N 40.680638°
E135.417481°		 →
↑
1 853.13 m
↓
↑
1 853.13 m
↓
N 40.663973°
E135.395508°		 ← 1 853.33 m →
3 434 046 m²		 N 40.663973°
E135.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876129150390625 y=0.376129150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876129150390625 × 214)
    floor (0.876129150390625 × 16384)
    floor (14354.5)     		tx = 14354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376129150390625 × 214)
    floor (0.376129150390625 × 16384)
    floor (6162.5)     		ty = 6162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14354 / 6162 ti = "14/14354/6162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14354/6162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14354 ÷ 214
    14354 ÷ 16384     		x = 0.8760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6162 ÷ 214
    6162 ÷ 16384     		y = 0.3760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8760986328125 × 2 - 1) × π
    0.752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36309740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.778495249829712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36309740} λ = 2.36309740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.778495249829712))-π/2
    2×atan(2.17819216322136)-π/2
    2×1.14040370106501-π/2
    2.28080740213002-1.57079632675     		φ = 0.71001108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36309740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71001108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.680638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14354 KachelY 6162 2.36309740 0.71001108 135.395508 40.680638
    Oben rechts KachelX + 1 14355 KachelY 6162 2.36348090 0.71001108 135.417481 40.680638
    Unten links KachelX 14354 KachelY + 1 6163 2.36309740 0.70972021 135.395508 40.663973
    Unten rechts KachelX + 1 14355 KachelY + 1 6163 2.36348090 0.70972021 135.417481 40.663973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71001108-0.70972021) × R
    0.000290870000000054 × 6371000     		dl = 1853.13277000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71001108-0.70972021) × R
    0.000290870000000054 × 6371000     		dr = 1853.13277000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36309740-2.36348090) × cos(0.71001108) × R
    0.00038349999999987 × 0.758354653625775 × 6371000     		do = 1852.87162057817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36309740-2.36348090) × cos(0.70972021) × R
    0.00038349999999987 × 0.758544222875712 × 6371000     		du = 1853.33479105081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71001108)-sin(0.70972021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758354653625775-0.758544222875712)×R²
    abs(2.36348090-2.36309740)×0.000189569249937738×R²
    0.00038349999999987×0.000189569249937738×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189569249937738×40589641000000     		ar = 3434046.30109955m²