Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 144 / 143
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 22.500000°		 ← 146.338 km → S 20.632784°
E 23.906250°		 →
↑
145.694 km
↓
↑
145.694 km
↓
S 21.943045°
E 22.500000°		 ← 145.040 km →
21 227 km²		 S 21.943045°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564453125 y=0.560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564453125 × 28)
    floor (0.564453125 × 256)
    floor (144.5)     		tx = 144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560546875 × 28)
    floor (0.560546875 × 256)
    floor (143.5)     		ty = 143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 144 / 143 ti = "8/144/143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/144/143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 144 ÷ 28
    144 ÷ 256     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 143 ÷ 28
    143 ÷ 256     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 144 KachelY 143 0.39269908 -0.36011002 22.500000 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 145 KachelY 143 0.41724277 -0.36011002 23.906250 -20.632784
    Unten links KachelX 144 KachelY + 1 144 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 145 KachelY + 1 144 0.41724277 -0.38297839 23.906250 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.38297839) × R
    0.02286837 × 6371000     		dl = 145694.38527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.38297839) × R
    0.02286837 × 6371000     		dr = 145694.38527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.41724277) × cos(-0.36011002) × R
    0.02454369 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 146338.11192766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.41724277) × cos(-0.38297839) × R
    0.02454369 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 145039.900947448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.927555772393619)×R²
    abs(0.41724277-0.39269908)×0.00830228840901392×R²
    0.02454369×0.00830228840901392×6371000²
    0.02454369×0.00830228840901392×40589641000000     		ar = 21226995318.1863m²