Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 144 / 17
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E 22.500000°		 ← 20.424 km → N 82.494824°
E 23.906250°		 →
↑
20.675 km
↓
↑
20.675 km
↓
N 82.308893°
E 22.500000°		 ← 20.927 km →
427.460 km²		 N 82.308893°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564453125 y=0.068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564453125 × 28)
    floor (0.564453125 × 256)
    floor (144.5)     		tx = 144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.068359375 × 28)
    floor (0.068359375 × 256)
    floor (17.5)     		ty = 17
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 144 / 17 ti = "8/144/17"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/144/17.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 144 ÷ 28
    144 ÷ 256     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17 ÷ 28
    17 ÷ 256     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 144 KachelY 17 0.39269908 1.43980629 22.500000 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 145 KachelY 17 0.41724277 1.43980629 23.906250 82.494824
    Unten links KachelX 144 KachelY + 1 18 0.39269908 1.43656118 22.500000 82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 145 KachelY + 1 18 0.41724277 1.43656118 23.906250 82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43656118) × R
    0.00324510999999994 × 6371000     		dl = 20674.5958099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43656118) × R
    0.00324510999999994 × 6371000     		dr = 20674.5958099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.41724277) × cos(1.43980629) × R
    0.02454369 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 20424.1056991228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.41724277) × cos(1.43656118) × R
    0.02454369 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 20927.0810190417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.133832377654437)×R²
    abs(0.41724277-0.39269908)×0.00321661596784589×R²
    0.02454369×0.00321661596784589×6371000²
    0.02454369×0.00321661596784589×40589641000000     		ar = 427459910.953385m²