Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1440 / 160
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E 73.125000°		 ← 2 746.22 m → N 81.923187°
E 73.300781°		 →
↑
2 750.42 m
↓
↑
2 750.42 m
↓
N 81.898451°
E 73.125000°		 ← 2 754.57 m →
7 564 761 m²		 N 81.898451°
E 73.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.703369140625 y=0.078369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.703369140625 × 211)
    floor (0.703369140625 × 2048)
    floor (1440.5)     		tx = 1440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.078369140625 × 211)
    floor (0.078369140625 × 2048)
    floor (160.5)     		ty = 160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1440 / 160 ti = "11/1440/160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1440/160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1440 ÷ 211
    1440 ÷ 2048     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 160 ÷ 211
    160 ÷ 2048     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1440 KachelY 160 1.27627202 1.42982934 73.125000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 1441 KachelY 160 1.27933998 1.42982934 73.300781 81.923187
    Unten links KachelX 1440 KachelY + 1 161 1.27627202 1.42939763 73.125000 81.898451
    Unten rechts KachelX + 1 1441 KachelY + 1 161 1.27933998 1.42939763 73.300781 81.898451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42939763) × R
    0.000431709999999974 × 6371000     		dl = 2750.42440999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42939763) × R
    0.000431709999999974 × 6371000     		dr = 2750.42440999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.27933998) × cos(1.42982934) × R
    0.00306796000000009 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 2746.22046882581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.27933998) × cos(1.42939763) × R
    0.00306796000000009 × 0.140927989635045 × 6371000     		du = 2754.57470289943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42939763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140927989635045)×R²
    abs(1.27933998-1.27627202)×0.00042741458842907×R²
    0.00306796000000009×0.00042741458842907×6371000²
    0.00306796000000009×0.00042741458842907×40589641000000     		ar = 7564760.77485202m²