Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14400 / 30784
↖ ↑ ↗
← S 82.765373°
W 21.796875°		 ← 153.84 m → S 82.765373°
W 21.785889°		 →
↑
153.80 m
↓
↑
153.80 m
↓
S 82.766756°
W 21.796875°		 ← 153.82 m →
23 658 m²		 S 82.766756°
W 21.785889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439468383789062 y=0.939468383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439468383789062 × 215)
    floor (0.439468383789062 × 32768)
    floor (14400.5)     		tx = 14400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.939468383789062 × 215)
    floor (0.939468383789062 × 32768)
    floor (30784.5)     		ty = 30784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14400 / 30784 ti = "15/14400/30784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14400/30784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14400 ÷ 215
    14400 ÷ 32768     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30784 ÷ 215
    30784 ÷ 32768     		y = 0.939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.939453125 × 2 - 1) × π
    -0.87890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.76116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76116541811523))-π/2
    2×atan(0.0632180499509773)-π/2
    2×0.0631340338832816-π/2
    0.126268067766563-1.57079632675     		φ = -1.44452826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44452826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.765373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14400 KachelY 30784 -0.38042724 -1.44452826 -21.796875 -82.765373
    Oben rechts KachelX + 1 14401 KachelY 30784 -0.38023549 -1.44452826 -21.785889 -82.765373
    Unten links KachelX 14400 KachelY + 1 30785 -0.38042724 -1.44455240 -21.796875 -82.766756
    Unten rechts KachelX + 1 14401 KachelY + 1 30785 -0.38023549 -1.44455240 -21.785889 -82.766756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44452826--1.44455240) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dl = 153.795940000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44452826--1.44455240) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dr = 153.795940000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.38023549) × cos(-1.44452826) × R
    0.000191749999999991 × 0.125932805725766 × 6371000     		do = 153.844458337212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.38023549) × cos(-1.44455240) × R
    0.000191749999999991 × 0.125908857873079 × 6371000     		du = 153.815202700417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44452826)-sin(-1.44455240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125932805725766-0.125908857873079)×R²
    abs(-0.38023549--0.38042724)×2.39478526868619e-05×R²
    0.000191749999999991×2.39478526868619e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.39478526868619e-05×40589641000000     		ar = 23658.4033852948m²