Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14416 / 2128
↖ ↑ ↗
← N 78.836065°
E136.757813°		 ← 473.05 m → N 78.836065°
E136.779785°		 →
↑
473.11 m
↓
↑
473.11 m
↓
N 78.831811°
E136.757813°		 ← 473.23 m →
223 846 m²		 N 78.831811°
E136.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.879913330078125 y=0.129913330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.879913330078125 × 214)
    floor (0.879913330078125 × 16384)
    floor (14416.5)     		tx = 14416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129913330078125 × 214)
    floor (0.129913330078125 × 16384)
    floor (2128.5)     		ty = 2128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14416 / 2128 ti = "14/14416/2128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14416/2128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14416 ÷ 214
    14416 ÷ 16384     		x = 0.8798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2128 ÷ 214
    2128 ÷ 16384     		y = 0.1298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    0.759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.38687411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1298828125 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32551487436816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38687411} λ = 2.38687411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32551487436816))-π/2
    2×atan(10.2319468969953)-π/2
    2×1.47337261913024-π/2
    2.94674523826048-1.57079632675     		φ = 1.37594891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38687411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37594891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.836065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14416 KachelY 2128 2.38687411 1.37594891 136.757813 78.836065
    Oben rechts KachelX + 1 14417 KachelY 2128 2.38725760 1.37594891 136.779785 78.836065
    Unten links KachelX 14416 KachelY + 1 2129 2.38687411 1.37587465 136.757813 78.831811
    Unten rechts KachelX + 1 14417 KachelY + 1 2129 2.38725760 1.37587465 136.779785 78.831811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37594891-1.37587465) × R
    7.42599999998816e-05 × 6371000     		dl = 473.110459999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37594891-1.37587465) × R
    7.42599999998816e-05 × 6371000     		dr = 473.110459999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38687411-2.38725760) × cos(1.37594891) × R
    0.000383489999999931 × 0.193616841309623 × 6371000     		do = 473.047530280668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38687411-2.38725760) × cos(1.37587465) × R
    0.000383489999999931 × 0.193689695570329 × 6371000     		du = 473.225528887941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37594891)-sin(1.37587465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193616841309623-0.193689695570329)×R²
    abs(2.38725760-2.38687411)×7.2854260706412e-05×R²
    0.000383489999999931×7.2854260706412e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.2854260706412e-05×40589641000000     		ar = 223845.841256089m²