Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14432 / 6240
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
E137.109375°		 ← 1 888.81 m → N 39.368279°
E137.131347°		 →
↑
1 889.07 m
↓
↑
1 889.07 m
↓
N 39.351290°
E137.109375°		 ← 1 889.27 m →
3 568 524 m²		 N 39.351290°
E137.131347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.880889892578125 y=0.380889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.880889892578125 × 214)
    floor (0.880889892578125 × 16384)
    floor (14432.5)     		tx = 14432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380889892578125 × 214)
    floor (0.380889892578125 × 16384)
    floor (6240.5)     		ty = 6240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14432 / 6240 ti = "14/14432/6240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14432/6240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14432 ÷ 214
    14432 ÷ 16384     		x = 0.880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6240 ÷ 214
    6240 ÷ 16384     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.880859375 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.39301003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.39301003} λ = 2.39301003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.39301003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14432 KachelY 6240 2.39301003 0.68710609 137.109375 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 14433 KachelY 6240 2.39339352 0.68710609 137.131347 39.368279
    Unten links KachelX 14432 KachelY + 1 6241 2.39301003 0.68680958 137.109375 39.351290
    Unten rechts KachelX + 1 14433 KachelY + 1 6241 2.39339352 0.68680958 137.131347 39.351290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.68680958) × R
    0.000296509999999972 × 6371000     		dl = 1889.06520999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.68680958) × R
    0.000296509999999972 × 6371000     		dr = 1889.06520999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.39301003-2.39339352) × cos(0.68710609) × R
    0.000383489999999931 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 1888.81237429069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.39301003-2.39339352) × cos(0.68680958) × R
    0.000383489999999931 × 0.773272907340459 × 6371000     		du = 1889.27180392017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.68680958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.773272907340459)×R²
    abs(2.39339352-2.39301003)×0.000188043078063971×R²
    0.000383489999999931×0.000188043078063971×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188043078063971×40589641000000     		ar = 3568523.71689887m²