Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14472 / 2184
↖ ↑ ↗
← N 78.595299°
E137.988281°		 ← 483.12 m → N 78.595299°
E138.010254°		 →
↑
483.24 m
↓
↑
483.24 m
↓
N 78.590953°
E137.988281°		 ← 483.30 m →
233 505 m²		 N 78.590953°
E138.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883331298828125 y=0.133331298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883331298828125 × 214)
    floor (0.883331298828125 × 16384)
    floor (14472.5)     		tx = 14472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133331298828125 × 214)
    floor (0.133331298828125 × 16384)
    floor (2184.5)     		ty = 2184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14472 / 2184 ti = "14/14472/2184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14472/2184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14472 ÷ 214
    14472 ÷ 16384     		x = 0.88330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2184 ÷ 214
    2184 ÷ 16384     		y = 0.13330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    0.7666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40834984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30403914333838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40834984} λ = 2.40834984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30403914333838))-π/2
    2×atan(10.014551079881)-π/2
    2×1.47127153713725-π/2
    2.94254307427449-1.57079632675     		φ = 1.37174675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40834984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37174675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.595299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14472 KachelY 2184 2.40834984 1.37174675 137.988281 78.595299
    Oben rechts KachelX + 1 14473 KachelY 2184 2.40873333 1.37174675 138.010254 78.595299
    Unten links KachelX 14472 KachelY + 1 2185 2.40834984 1.37167090 137.988281 78.590953
    Unten rechts KachelX + 1 14473 KachelY + 1 2185 2.40873333 1.37167090 138.010254 78.590953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37174675-1.37167090) × R
    7.58499999999884e-05 × 6371000     		dl = 483.240349999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37174675-1.37167090) × R
    7.58499999999884e-05 × 6371000     		dr = 483.240349999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40834984-2.40873333) × cos(1.37174675) × R
    0.000383489999999931 × 0.197737763187749 × 6371000     		do = 483.115827561738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40834984-2.40873333) × cos(1.37167090) × R
    0.000383489999999931 × 0.197812114957208 × 6371000     		du = 483.297484904543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37174675)-sin(1.37167090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197737763187749-0.197812114957208)×R²
    abs(2.40873333-2.40834984)×7.43517694587748e-05×R²
    0.000383489999999931×7.43517694587748e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.43517694587748e-05×40589641000000     		ar = 233504.95379319m²