Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 146 / 146
↖ ↑ ↗
← S 24.527135°
E 25.312500°		 ← 142.258 km → S 24.527135°
E 26.718750°		 →
↑
141.524 km
↓
↑
141.524 km
↓
S 25.799891°
E 25.312500°		 ← 140.781 km →
20 029.2 km²		 S 25.799891°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572265625 y=0.572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572265625 × 28)
    floor (0.572265625 × 256)
    floor (146.5)     		tx = 146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572265625 × 28)
    floor (0.572265625 × 256)
    floor (146.5)     		ty = 146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 146 / 146 ti = "8/146/146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/146/146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 146 ÷ 28
    146 ÷ 256     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 146 ÷ 28
    146 ÷ 256     		y = 0.5703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5703125 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441786466898437))-π/2
    2×atan(0.642886898433291)-π/2
    2×0.571358534035749-π/2
    1.1427170680715-1.57079632675     		φ = -0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 146 KachelY 146 0.44178647 -0.42807926 25.312500 -24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 147 KachelY 146 0.46633016 -0.42807926 26.718750 -24.527135
    Unten links KachelX 146 KachelY + 1 147 0.44178647 -0.45029305 25.312500 -25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 147 KachelY + 1 147 0.46633016 -0.45029305 26.718750 -25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42807926--0.45029305) × R
    0.02221379 × 6371000     		dl = 141524.05609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42807926--0.45029305) × R
    0.02221379 × 6371000     		dr = 141524.05609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.46633016) × cos(-0.42807926) × R
    0.02454369 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 142257.96062693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.46633016) × cos(-0.45029305) × R
    0.02454369 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 140781.038792735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42807926)-sin(-0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.900319597040296)×R²
    abs(0.46633016-0.44178647)×0.00944517587045568×R²
    0.02454369×0.00944517587045568×6371000²
    0.02454369×0.00944517587045568×40589641000000     		ar = 20029237244.5796m²