Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 146 / 150
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
E 25.312500°		 ← 136.048 km → S 29.535229°
E 26.718750°		 →
↑
135.218 km
↓
↑
135.218 km
↓
S 30.751278°
E 25.312500°		 ← 134.382 km →
18 284.2 km²		 S 30.751278°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572265625 y=0.587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572265625 × 28)
    floor (0.572265625 × 256)
    floor (146.5)     		tx = 146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587890625 × 28)
    floor (0.587890625 × 256)
    floor (150.5)     		ty = 150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 146 / 150 ti = "8/146/150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/146/150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 146 ÷ 28
    146 ÷ 256     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 150 ÷ 28
    150 ÷ 256     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 146 KachelY 150 0.44178647 -0.51548700 25.312500 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 147 KachelY 150 0.46633016 -0.51548700 26.718750 -29.535229
    Unten links KachelX 146 KachelY + 1 151 0.44178647 -0.53671105 25.312500 -30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 147 KachelY + 1 151 0.46633016 -0.53671105 26.718750 -30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.53671105) × R
    0.0212240499999999 × 6371000     		dl = 135218.42255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.53671105) × R
    0.0212240499999999 × 6371000     		dr = 135218.42255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.46633016) × cos(-0.51548700) × R
    0.02454369 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 136048.277749762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.46633016) × cos(-0.53671105) × R
    0.02454369 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 134381.748660039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.859395006889381)×R²
    abs(0.46633016-0.44178647)×0.0106577477434598×R²
    0.02454369×0.0106577477434598×6371000²
    0.02454369×0.0106577477434598×40589641000000     		ar = 18284247156.4161m²