Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 147 / 149
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
E 26.718750°		 ← 137.673 km → S 28.304381°
E 28.125000°		 →
↑
136.864 km
↓
↑
136.864 km
↓
S 29.535229°
E 26.718750°		 ← 136.048 km →
18 732 km²		 S 29.535229°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576171875 y=0.583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576171875 × 28)
    floor (0.576171875 × 256)
    floor (147.5)     		tx = 147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583984375 × 28)
    floor (0.583984375 × 256)
    floor (149.5)     		ty = 149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 147 / 149 ti = "8/147/149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/147/149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 147 ÷ 28
    147 ÷ 256     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 149 ÷ 28
    149 ÷ 256     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 147 KachelY 149 0.46633016 -0.49400464 26.718750 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 148 KachelY 149 0.49087385 -0.49400464 28.125000 -28.304381
    Unten links KachelX 147 KachelY + 1 150 0.46633016 -0.51548700 26.718750 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 148 KachelY + 1 150 0.49087385 -0.51548700 28.125000 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.51548700) × R
    0.02148236 × 6371000     		dl = 136864.11556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.51548700) × R
    0.02148236 × 6371000     		dr = 136864.11556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.49087385) × cos(-0.49400464) × R
    0.02454369 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 137672.681180768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.49087385) × cos(-0.51548700) × R
    0.02454369 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 136048.277749762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.870052754632841)×R²
    abs(0.49087385-0.46633016)×0.0103883467189606×R²
    0.02454369×0.0103883467189606×6371000²
    0.02454369×0.0103883467189606×40589641000000     		ar = 18732008871.6992m²