Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1471 / 193
↖ ↑ ↗
← N 81.065957°
E 78.574219°		 ← 3 035.45 m → N 81.065957°
E 78.750000°		 →
↑
3 040.05 m
↓
↑
3 040.05 m
↓
N 81.038617°
E 78.574219°		 ← 3 044.66 m →
9 241 919 m²		 N 81.038617°
E 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718505859375 y=0.094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718505859375 × 211)
    floor (0.718505859375 × 2048)
    floor (1471.5)     		tx = 1471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094482421875 × 211)
    floor (0.094482421875 × 2048)
    floor (193.5)     		ty = 193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1471 / 193 ti = "11/1471/193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1471/193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1471 ÷ 211
    1471 ÷ 2048     		x = 0.71826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 193 ÷ 211
    193 ÷ 2048     		y = 0.09423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71826171875 × 2 - 1) × π
    0.4365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37137882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37137882} λ = 1.37137882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54947606939307))-π/2
    2×atan(12.8003955064942)-π/2
    2×1.49283209222535-π/2
    2.98566418445071-1.57079632675     		φ = 1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37137882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1471 KachelY 193 1.37137882 1.41486786 78.574219 81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 1472 KachelY 193 1.37444679 1.41486786 78.750000 81.065957
    Unten links KachelX 1471 KachelY + 1 194 1.37137882 1.41439069 78.574219 81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 1472 KachelY + 1 194 1.37444679 1.41439069 78.750000 81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41486786-1.41439069) × R
    0.000477169999999916 × 6371000     		dl = 3040.05006999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41486786-1.41439069) × R
    0.000477169999999916 × 6371000     		dr = 3040.05006999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37137882-1.37444679) × cos(1.41486786) × R
    0.00306796999999981 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 3035.44809084553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37137882-1.37444679) × cos(1.41439069) × R
    0.00306796999999981 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 3044.66137264998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41486786)-sin(1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155768731682034)×R²
    abs(1.37444679-1.37137882)×0.000471363165113037×R²
    0.00306796999999981×0.000471363165113037×6371000²
    0.00306796999999981×0.000471363165113037×40589641000000     		ar = 9241918.77540757m²