Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1472 / 3008
↖ ↑ ↗
← S 64.168107°
W 50.625000°		 ← 4 258.40 m → S 64.168107°
W 50.537109°		 →
↑
4 255.45 m
↓
↑
4 255.45 m
↓
S 64.206377°
W 50.625000°		 ← 4 252.53 m →
18 108 908 m²		 S 64.206377°
W 50.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3594970703125 y=0.7344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3594970703125 × 212)
    floor (0.3594970703125 × 4096)
    floor (1472.5)     		tx = 1472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7344970703125 × 212)
    floor (0.7344970703125 × 4096)
    floor (3008.5)     		ty = 3008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1472 / 3008 ti = "12/1472/3008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1472/3008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1472 ÷ 212
    1472 ÷ 4096     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3008 ÷ 212
    3008 ÷ 4096     		y = 0.734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734375 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47262155632813))-π/2
    2×atan(0.229323511974136)-π/2
    2×0.2254257933358-π/2
    0.4508515866716-1.57079632675     		φ = -1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1472 KachelY 3008 -0.88357293 -1.11994474 -50.625000 -64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 1473 KachelY 3008 -0.88203895 -1.11994474 -50.537109 -64.168107
    Unten links KachelX 1472 KachelY + 1 3009 -0.88357293 -1.12061268 -50.625000 -64.206377
    Unten rechts KachelX + 1 1473 KachelY + 1 3009 -0.88203895 -1.12061268 -50.537109 -64.206377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11994474--1.12061268) × R
    0.000667940000000034 × 6371000     		dl = 4255.44574000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11994474--1.12061268) × R
    0.000667940000000034 × 6371000     		dr = 4255.44574000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.88203895) × cos(-1.11994474) × R
    0.00153398000000005 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 4258.40479806152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.88203895) × cos(-1.12061268) × R
    0.00153398000000005 × 0.435130890999766 × 6371000     		du = 4252.52835828429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11994474)-sin(-1.12061268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.435130890999766)×R²
    abs(-0.88203895--0.88357293)×0.000601294162140553×R²
    0.00153398000000005×0.000601294162140553×6371000²
    0.00153398000000005×0.000601294162140553×40589641000000     		ar = 18108907.7950648m²