Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1472 / 64
↖ ↑ ↗
← N 83.979259°
E 78.750000°		 ← 2 050.15 m → N 83.979259°
E 78.925781°		 →
↑
2 053.25 m
↓
↑
2 053.25 m
↓
N 83.960794°
E 78.750000°		 ← 2 056.41 m →
4 215 887 m²		 N 83.960794°
E 78.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718994140625 y=0.031494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718994140625 × 211)
    floor (0.718994140625 × 2048)
    floor (1472.5)     		tx = 1472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.031494140625 × 211)
    floor (0.031494140625 × 2048)
    floor (64.5)     		ty = 64
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1472 / 64 ti = "11/1472/64"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1472/64.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1472 ÷ 211
    1472 ÷ 2048     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64 ÷ 211
    64 ÷ 2048     		y = 0.03125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.03125 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Φ = 2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.94524311265625))-π/2
    2×atan(19.0152846809447)-π/2
    2×1.51825545421397-π/2
    3.03651090842793-1.57079632675     		φ = 1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1472 KachelY 64 1.37444679 1.46571458 78.750000 83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 1473 KachelY 64 1.37751475 1.46571458 78.925781 83.979259
    Unten links KachelX 1472 KachelY + 1 65 1.37444679 1.46539230 78.750000 83.960794
    Unten rechts KachelX + 1 1473 KachelY + 1 65 1.37751475 1.46539230 78.925781 83.960794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.46571458-1.46539230) × R
    0.000322280000000008 × 6371000     		dl = 2053.24588000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.46571458-1.46539230) × R
    0.000322280000000008 × 6371000     		dr = 2053.24588000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.37751475) × cos(1.46571458) × R
    0.00306796000000009 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 2050.14712282038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.37751475) × cos(1.46539230) × R
    0.00306796000000009 × 0.105208961906389 × 6371000     		du = 2056.4115456138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.46571458)-sin(1.46539230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.105208961906389)×R²
    abs(1.37751475-1.37444679)×0.000320496848232668×R²
    0.00306796000000009×0.000320496848232668×6371000²
    0.00306796000000009×0.000320496848232668×40589641000000     		ar = 4215887.3699647m²