Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 148 / 52
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
E 28.125000°		 ← 47.292 km → N 72.395706°
E 29.531250°		 →
↑
47.849 km
↓
↑
47.849 km
↓
N 71.965388°
E 28.125000°		 ← 48.410 km →
2 289.65 km²		 N 71.965388°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580078125 y=0.205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580078125 × 28)
    floor (0.580078125 × 256)
    floor (148.5)     		tx = 148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205078125 × 28)
    floor (0.205078125 × 256)
    floor (52.5)     		ty = 52
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 148 / 52 ti = "8/148/52"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/148/52.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 148 ÷ 28
    148 ÷ 256     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52 ÷ 28
    52 ÷ 256     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 148 KachelY 52 0.49087385 1.26354343 28.125000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 149 KachelY 52 0.51541754 1.26354343 29.531250 72.395706
    Unten links KachelX 148 KachelY + 1 53 0.49087385 1.25603296 28.125000 71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 149 KachelY + 1 53 0.51541754 1.25603296 29.531250 71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.25603296) × R
    0.00751046999999994 × 6371000     		dl = 47849.2043699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.25603296) × R
    0.00751046999999994 × 6371000     		dr = 47849.2043699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.51541754) × cos(1.26354343) × R
    0.02454369 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 47292.1002269092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.51541754) × cos(1.25603296) × R
    0.02454369 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 48410.1526300148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.30959147256103)×R²
    abs(0.51541754-0.49087385)×0.00715014250261337×R²
    0.02454369×0.00715014250261337×6371000²
    0.02454369×0.00715014250261337×40589641000000     		ar = 2289649090.53705m²