Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14880 / 6688
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E146.953125°		 ← 2 086.44 m → N 31.353637°
E146.975098°		 →
↑
2 086.69 m
↓
↑
2 086.69 m
↓
N 31.334871°
E146.953125°		 ← 2 086.85 m →
4 354 190 m²		 N 31.334871°
E146.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908233642578125 y=0.408233642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908233642578125 × 214)
    floor (0.908233642578125 × 16384)
    floor (14880.5)     		tx = 14880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408233642578125 × 214)
    floor (0.408233642578125 × 16384)
    floor (6688.5)     		ty = 6688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14880 / 6688 ti = "14/14880/6688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14880/6688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14880 ÷ 214
    14880 ÷ 16384     		x = 0.908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6688 ÷ 214
    6688 ÷ 16384     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908203125 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56481588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56481588} λ = 2.56481588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56481588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14880 KachelY 6688 2.56481588 0.54722420 146.953125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 14881 KachelY 6688 2.56519937 0.54722420 146.975098 31.353637
    Unten links KachelX 14880 KachelY + 1 6689 2.56481588 0.54689667 146.953125 31.334871
    Unten rechts KachelX + 1 14881 KachelY + 1 6689 2.56519937 0.54689667 146.975098 31.334871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.54689667) × R
    0.000327530000000076 × 6371000     		dl = 2086.69363000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.54689667) × R
    0.000327530000000076 × 6371000     		dr = 2086.69363000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56481588-2.56519937) × cos(0.54722420) × R
    0.000383490000000375 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 2086.43729191757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56481588-2.56519937) × cos(0.54689667) × R
    0.000383490000000375 × 0.854142485231692 × 6371000     		du = 2086.85355268747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.54689667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.854142485231692)×R²
    abs(2.56519937-2.56481588)×0.000170374201893031×R²
    0.000383490000000375×0.000170374201893031×6371000²
    0.000383490000000375×0.000170374201893031×40589641000000     		ar = 4354189.74971305m²