Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
5 / 15 / 23
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 11.250000°		 ← 594.856 km → S 61.606397°
E  0.000000°		 →
↑
545.618 km
↓
↑
545.618 km
↓
S 66.513260°
W 11.250000°		 ← 498.547 km →
298 473 km²		 S 66.513260°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484375 y=0.734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484375 × 25)
    floor (0.484375 × 32)
    floor (15.5)     		tx = 15
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734375 × 25)
    floor (0.734375 × 32)
    floor (23.5)     		ty = 23
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 15 / 23 ti = "5/15/23"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/15/23.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15 ÷ 25
    15 ÷ 32     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23 ÷ 25
    23 ÷ 32     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15 KachelY 23 -0.19634954 -1.07523446 -11.250000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 16 KachelY 23 0.00000000 -1.07523446 0.000000 -61.606397
    Unten links KachelX 15 KachelY + 1 24 -0.19634954 -1.16087539 -11.250000 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 16 KachelY + 1 24 0.00000000 -1.16087539 0.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.16087539) × R
    0.0856409300000001 × 6371000     		dl = 545618.36503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.16087539) × R
    0.0856409300000001 × 6371000     		dr = 545618.36503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954-0.00000000) × cos(-1.07523446) × R
    0.19634954 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 594855.884489891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954-0.00000000) × cos(-1.16087539) × R
    0.19634954 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 498546.808355382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.398536816226928)×R²
    abs(0.00000000--0.19634954)×0.0769891852342242×R²
    0.19634954×0.0769891852342242×6371000²
    0.19634954×0.0769891852342242×40589641000000     		ar = 298472742865.025m²