Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1504 / 2528
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 47.812500°		 ← 7 614.04 m → S 38.822591°
W 47.724610°		 →
↑
7 610.35 m
↓
↑
7 610.35 m
↓
S 38.891033°
W 47.812500°		 ← 7 606.72 m →
57 917 685 m²		 S 38.891033°
W 47.724610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3673095703125 y=0.6173095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3673095703125 × 212)
    floor (0.3673095703125 × 4096)
    floor (1504.5)     		tx = 1504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6173095703125 × 212)
    floor (0.6173095703125 × 4096)
    floor (2528.5)     		ty = 2528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1504 / 2528 ti = "12/1504/2528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1504/2528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1504 ÷ 212
    1504 ÷ 4096     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2528 ÷ 212
    2528 ÷ 4096     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1504 KachelY 2528 -0.83448555 -0.67758204 -47.812500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 1505 KachelY 2528 -0.83295157 -0.67758204 -47.724610 -38.822591
    Unten links KachelX 1504 KachelY + 1 2529 -0.83448555 -0.67877657 -47.812500 -38.891033
    Unten rechts KachelX + 1 1505 KachelY + 1 2529 -0.83295157 -0.67877657 -47.724610 -38.891033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.67877657) × R
    0.00119453000000003 × 6371000     		dl = 7610.35063000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.67877657) × R
    0.00119453000000003 × 6371000     		dr = 7610.35063000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83295157) × cos(-0.67758204) × R
    0.00153398000000005 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 7614.04432978057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83295157) × cos(-0.67877657) × R
    0.00153398000000005 × 0.778341420880445 × 6371000     		du = 7606.72026092295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.67877657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.778341420880445)×R²
    abs(-0.83295157--0.83448555)×0.000749419719107136×R²
    0.00153398000000005×0.000749419719107136×6371000²
    0.00153398000000005×0.000749419719107136×40589641000000     		ar = 57917684.5828778m²