Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1504 / 3552
↖ ↑ ↗
← S 78.630006°
W 47.812500°		 ← 1 926.69 m → S 78.630006°
W 47.724610°		 →
↑
1 925.25 m
↓
↑
1 925.25 m
↓
S 78.647320°
W 47.812500°		 ← 1 923.79 m →
3 706 568 m²		 S 78.647320°
W 47.724610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3673095703125 y=0.8673095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3673095703125 × 212)
    floor (0.3673095703125 × 4096)
    floor (1504.5)     		tx = 1504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8673095703125 × 212)
    floor (0.8673095703125 × 4096)
    floor (3552.5)     		ty = 3552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1504 / 3552 ti = "12/1504/3552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1504/3552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1504 ÷ 212
    1504 ÷ 4096     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3552 ÷ 212
    3552 ÷ 4096     		y = 0.8671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8671875 × 2 - 1) × π
    -0.734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.30710710491406))-π/2
    2×atan(0.099548819698183)-π/2
    2×0.0992219193946073-π/2
    0.198443838789215-1.57079632675     		φ = -1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1504 KachelY 3552 -0.83448555 -1.37235249 -47.812500 -78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 1505 KachelY 3552 -0.83295157 -1.37235249 -47.724610 -78.630006
    Unten links KachelX 1504 KachelY + 1 3553 -0.83448555 -1.37265468 -47.812500 -78.647320
    Unten rechts KachelX + 1 1505 KachelY + 1 3553 -0.83295157 -1.37265468 -47.724610 -78.647320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37235249--1.37265468) × R
    0.00030218999999998 × 6371000     		dl = 1925.25248999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37235249--1.37265468) × R
    0.00030218999999998 × 6371000     		dr = 1925.25248999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83295157) × cos(-1.37235249) × R
    0.00153398000000005 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 1926.68515139372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83295157) × cos(-1.37265468) × R
    0.00153398000000005 × 0.196847678927376 × 6371000     		du = 1923.78972446146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37235249)-sin(-1.37265468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.196847678927376)×R²
    abs(-0.83295157--0.83448555)×0.00029626838311575×R²
    0.00153398000000005×0.00029626838311575×6371000²
    0.00153398000000005×0.00029626838311575×40589641000000     		ar = 3706568.19941757m²