Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1505 / 2529
↖ ↑ ↗
← S 38.891033°
W 47.724610°		 ← 7 606.72 m → S 38.891033°
W 47.636719°		 →
↑
7 603.09 m
↓
↑
7 603.09 m
↓
S 38.959409°
W 47.724610°		 ← 7 599.39 m →
57 806 711 m²		 S 38.959409°
W 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3675537109375 y=0.6175537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3675537109375 × 212)
    floor (0.3675537109375 × 4096)
    floor (1505.5)     		tx = 1505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6175537109375 × 212)
    floor (0.6175537109375 × 4096)
    floor (2529.5)     		ty = 2529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1505 / 2529 ti = "12/1505/2529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1505/2529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1505 ÷ 212
    1505 ÷ 4096     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2529 ÷ 212
    2529 ÷ 4096     		y = 0.617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.737844758951904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737844758951904))-π/2
    2×atan(0.478143319925226)-π/2
    2×0.446009877243945-π/2
    0.892019754487891-1.57079632675     		φ = -0.67877657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67877657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.891033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1505 KachelY 2529 -0.83295157 -0.67877657 -47.724610 -38.891033
    Oben rechts KachelX + 1 1506 KachelY 2529 -0.83141759 -0.67877657 -47.636719 -38.891033
    Unten links KachelX 1505 KachelY + 1 2530 -0.83295157 -0.67996996 -47.724610 -38.959409
    Unten rechts KachelX + 1 1506 KachelY + 1 2530 -0.83141759 -0.67996996 -47.636719 -38.959409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67877657--0.67996996) × R
    0.00119338999999996 × 6371000     		dl = 7603.08768999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67877657--0.67996996) × R
    0.00119338999999996 × 6371000     		dr = 7603.08768999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83141759) × cos(-0.67877657) × R
    0.00153397999999993 × 0.778341420880445 × 6371000     		do = 7606.7202609224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83141759) × cos(-0.67996996) × R
    0.00153397999999993 × 0.777591607342525 × 6371000     		du = 7599.39234327881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67877657)-sin(-0.67996996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778341420880445-0.777591607342525)×R²
    abs(-0.83141759--0.83295157)×0.000749813537919808×R²
    0.00153397999999993×0.000749813537919808×6371000²
    0.00153397999999993×0.000749813537919808×40589641000000     		ar = 57806710.6374664m²