Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1508 / 2532
↖ ↑ ↗
← S 39.095963°
W 47.460938°		 ← 7 584.77 m → S 39.095963°
W 47.373047°		 →
↑
7 581.04 m
↓
↑
7 581.04 m
↓
S 39.164141°
W 47.460938°		 ← 7 577.44 m →
57 472 700 m²		 S 39.164141°
W 47.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3682861328125 y=0.6182861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3682861328125 × 212)
    floor (0.3682861328125 × 4096)
    floor (1508.5)     		tx = 1508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6182861328125 × 212)
    floor (0.6182861328125 × 4096)
    floor (2532.5)     		ty = 2532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1508 / 2532 ti = "12/1508/2532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1508/2532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1508 ÷ 212
    1508 ÷ 4096     		x = 0.3681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2532 ÷ 212
    2532 ÷ 4096     		y = 0.6181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3681640625 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82834963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6181640625 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82834963} λ = -0.82834963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74244670131543))-π/2
    2×atan(0.475947987197139)-π/2
    2×0.444221524667583-π/2
    0.888443049335165-1.57079632675     		φ = -0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82834963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1508 KachelY 2532 -0.82834963 -0.68235328 -47.460938 -39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 1509 KachelY 2532 -0.82681564 -0.68235328 -47.373047 -39.095963
    Unten links KachelX 1508 KachelY + 1 2533 -0.82834963 -0.68354321 -47.460938 -39.164141
    Unten rechts KachelX + 1 1509 KachelY + 1 2533 -0.82681564 -0.68354321 -47.373047 -39.164141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68235328--0.68354321) × R
    0.00118993000000001 × 6371000     		dl = 7581.04403000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68235328--0.68354321) × R
    0.00118993000000001 × 6371000     		dr = 7581.04403000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82834963--0.82681564) × cos(-0.68235328) × R
    0.00153398999999999 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 7584.77481869883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82834963--0.82681564) × cos(-0.68354321) × R
    0.00153398999999999 × 0.775339896732112 × 6371000     		du = 7577.43580260627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68235328)-sin(-0.68354321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.775339896732112)×R²
    abs(-0.82681564--0.82834963)×0.000750944267633002×R²
    0.00153398999999999×0.000750944267633002×6371000²
    0.00153398999999999×0.000750944267633002×40589641000000     		ar = 57472699.9375866m²