Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1512 / 2664
↖ ↑ ↗
← S 47.517200°
W 47.109375°		 ← 6 600.37 m → S 47.517200°
W 47.021484°		 →
↑
6 596.66 m
↓
↑
6 596.66 m
↓
S 47.576526°
W 47.109375°		 ← 6 592.90 m →
43 515 784 m²		 S 47.576526°
W 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3692626953125 y=0.6505126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3692626953125 × 212)
    floor (0.3692626953125 × 4096)
    floor (1512.5)     		tx = 1512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6505126953125 × 212)
    floor (0.6505126953125 × 4096)
    floor (2664.5)     		ty = 2664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1512 / 2664 ti = "12/1512/2664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1512/2664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1512 ÷ 212
    1512 ÷ 4096     		x = 0.369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2664 ÷ 212
    2664 ÷ 4096     		y = 0.650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369140625 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650390625 × 2 - 1) × π
    -0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82221370} λ = -0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944932165310547))-π/2
    2×atan(0.388705937754025)-π/2
    2×0.370732361652446-π/2
    0.741464723304892-1.57079632675     		φ = -0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1512 KachelY 2664 -0.82221370 -0.82933160 -47.109375 -47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 1513 KachelY 2664 -0.82067972 -0.82933160 -47.021484 -47.517200
    Unten links KachelX 1512 KachelY + 1 2665 -0.82221370 -0.83036702 -47.109375 -47.576526
    Unten rechts KachelX + 1 1513 KachelY + 1 2665 -0.82067972 -0.83036702 -47.021484 -47.576526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82933160--0.83036702) × R
    0.00103542000000001 × 6371000     		dl = 6596.66082000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82933160--0.83036702) × R
    0.00103542000000001 × 6371000     		dr = 6596.66082000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82221370--0.82067972) × cos(-0.82933160) × R
    0.00153398000000005 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 6600.37063537527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82221370--0.82067972) × cos(-0.83036702) × R
    0.00153398000000005 × 0.674604879051399 × 6371000     		du = 6592.90442977204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82933160)-sin(-0.83036702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.674604879051399)×R²
    abs(-0.82067972--0.82221370)×0.0007639635583363×R²
    0.00153398000000005×0.0007639635583363×6371000²
    0.00153398000000005×0.0007639635583363×40589641000000     		ar = 43515784.2426178m²