Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1531 / 2555
↖ ↑ ↗
← S 40.647304°
W 45.439453°		 ← 7 415.09 m → S 40.647304°
W 45.351563°		 →
↑
7 411.38 m
↓
↑
7 411.38 m
↓
S 40.713956°
W 45.439453°		 ← 7 407.68 m →
54 928 662 m²		 S 40.713956°
W 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3739013671875 y=0.6239013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3739013671875 × 212)
    floor (0.3739013671875 × 4096)
    floor (1531.5)     		tx = 1531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6239013671875 × 212)
    floor (0.6239013671875 × 4096)
    floor (2555.5)     		ty = 2555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1531 / 2555 ti = "12/1531/2555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1531/2555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1531 ÷ 212
    1531 ÷ 4096     		x = 0.373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2555 ÷ 212
    2555 ÷ 4096     		y = 0.623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79306807} λ = -0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777728259435791))-π/2
    2×atan(0.459448574604279)-π/2
    2×0.430683523794062-π/2
    0.861367047588124-1.57079632675     		φ = -0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1531 KachelY 2555 -0.79306807 -0.70942928 -45.439453 -40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 1532 KachelY 2555 -0.79153409 -0.70942928 -45.351563 -40.647304
    Unten links KachelX 1531 KachelY + 1 2556 -0.79306807 -0.71059258 -45.439453 -40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 1532 KachelY + 1 2556 -0.79153409 -0.71059258 -45.351563 -40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70942928--0.71059258) × R
    0.00116329999999998 × 6371000     		dl = 7411.38429999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70942928--0.71059258) × R
    0.00116329999999998 × 6371000     		dr = 7411.38429999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79306807--0.79153409) × cos(-0.70942928) × R
    0.00153398000000005 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 7415.09492300461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79306807--0.79153409) × cos(-0.71059258) × R
    0.00153398000000005 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 7407.68418626223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70942928)-sin(-0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.757975479207299)×R²
    abs(-0.79153409--0.79306807)×0.000758287825499027×R²
    0.00153398000000005×0.000758287825499027×6371000²
    0.00153398000000005×0.000758287825499027×40589641000000     		ar = 54928662.38082m²