Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1532 / 1548
↖ ↑ ↗
← S 67.339861°
E 89.296875°		 ← 7 530.36 m → S 67.339861°
E 89.472656°		 →
↑
7 519.69 m
↓
↑
7 519.69 m
↓
S 67.407487°
E 89.296875°		 ← 7 509.07 m →
56 545 944 m²		 S 67.407487°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748291015625 y=0.756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748291015625 × 211)
    floor (0.748291015625 × 2048)
    floor (1532.5)     		tx = 1532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756103515625 × 211)
    floor (0.756103515625 × 2048)
    floor (1548.5)     		ty = 1548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1532 / 1548 ti = "11/1532/1548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1532/1548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1532 ÷ 211
    1532 ÷ 2048     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1548 ÷ 211
    1548 ÷ 2048     		y = 0.755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755859375 × 2 - 1) × π
    -0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6076118656582))-π/2
    2×atan(0.200365543002917)-π/2
    2×0.197747018785645-π/2
    0.39549403757129-1.57079632675     		φ = -1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1532 KachelY 1548 1.55852448 -1.17530229 89.296875 -67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 1533 KachelY 1548 1.56159244 -1.17530229 89.472656 -67.339861
    Unten links KachelX 1532 KachelY + 1 1549 1.55852448 -1.17648259 89.296875 -67.407487
    Unten rechts KachelX + 1 1533 KachelY + 1 1549 1.56159244 -1.17648259 89.472656 -67.407487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17530229--1.17648259) × R
    0.00118029999999991 × 6371000     		dl = 7519.69129999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17530229--1.17648259) × R
    0.00118029999999991 × 6371000     		dr = 7519.69129999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(-1.17530229) × R
    0.00306796000000009 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 7530.36246359504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(-1.17648259) × R
    0.00306796000000009 × 0.384174679663317 × 6371000     		du = 7509.06797745102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17530229)-sin(-1.17648259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.384174679663317)×R²
    abs(1.56159244-1.55852448)×0.00108945643021763×R²
    0.00306796000000009×0.00108945643021763×6371000²
    0.00306796000000009×0.00108945643021763×40589641000000     		ar = 56545943.6867824m²