Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1532 / 508
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
E 89.296875°		 ← 7 702.51 m → N 66.791909°
E 89.472656°		 →
↑
7 713.37 m
↓
↑
7 713.37 m
↓
N 66.722541°
E 89.296875°		 ← 7 724.26 m →
59 496 210 m²		 N 66.722541°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748291015625 y=0.248291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748291015625 × 211)
    floor (0.748291015625 × 2048)
    floor (1532.5)     		tx = 1532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248291015625 × 211)
    floor (0.248291015625 × 2048)
    floor (508.5)     		ty = 508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1532 / 508 ti = "11/1532/508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1532/508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1532 ÷ 211
    1532 ÷ 2048     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 508 ÷ 211
    508 ÷ 2048     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1532 KachelY 508 1.55852448 1.16573873 89.296875 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 1533 KachelY 508 1.56159244 1.16573873 89.472656 66.791909
    Unten links KachelX 1532 KachelY + 1 509 1.55852448 1.16452803 89.296875 66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 1533 KachelY + 1 509 1.56159244 1.16452803 89.472656 66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16452803) × R
    0.0012106999999999 × 6371000     		dl = 7713.36969999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16452803) × R
    0.0012106999999999 × 6371000     		dr = 7713.36969999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(1.16573873) × R
    0.00306796000000009 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 7702.5148140354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(1.16452803) × R
    0.00306796000000009 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 7724.25855026874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.395184137778101)×R²
    abs(1.56159244-1.55852448)×0.00111244070864869×R²
    0.00306796000000009×0.00111244070864869×6371000²
    0.00306796000000009×0.00111244070864869×40589641000000     		ar = 59496210.3859242m²