Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1532 / 524
↖ ↑ ↗
← N 65.658274°
E 89.296875°		 ← 8 056.42 m → N 65.658274°
E 89.472656°		 →
↑
8 067.66 m
↓
↑
8 067.66 m
↓
N 65.585720°
E 89.296875°		 ← 8 078.96 m →
65 087 412 m²		 N 65.585720°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748291015625 y=0.256103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748291015625 × 211)
    floor (0.748291015625 × 2048)
    floor (1532.5)     		tx = 1532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256103515625 × 211)
    floor (0.256103515625 × 2048)
    floor (524.5)     		ty = 524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1532 / 524 ti = "11/1532/524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1532/524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1532 ÷ 211
    1532 ÷ 2048     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 524 ÷ 211
    524 ÷ 2048     		y = 0.255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255859375 × 2 - 1) × π
    0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5339807878418))-π/2
    2×atan(4.63659744441408)-π/2
    2×1.35837469916305-π/2
    2.7167493983261-1.57079632675     		φ = 1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1532 KachelY 524 1.55852448 1.14595307 89.296875 65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 1533 KachelY 524 1.56159244 1.14595307 89.472656 65.658274
    Unten links KachelX 1532 KachelY + 1 525 1.55852448 1.14468676 89.296875 65.585720
    Unten rechts KachelX + 1 1533 KachelY + 1 525 1.56159244 1.14468676 89.472656 65.585720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14595307-1.14468676) × R
    0.0012663100000001 × 6371000     		dl = 8067.66101000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14595307-1.14468676) × R
    0.0012663100000001 × 6371000     		dr = 8067.66101000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(1.14595307) × R
    0.00306796000000009 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 8056.41968629644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(1.14468676) × R
    0.00306796000000009 × 0.413331386050995 × 6371000     		du = 8078.96417793859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14595307)-sin(1.14468676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.413331386050995)×R²
    abs(1.56159244-1.55852448)×0.00115340850299961×R²
    0.00306796000000009×0.00115340850299961×6371000²
    0.00306796000000009×0.00115340850299961×40589641000000     		ar = 65087412.3389696m²