Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1535 / 2559
↖ ↑ ↗
← S 40.913512°
W 45.087890°		 ← 7 385.44 m → S 40.913512°
W 45.000000°		 →
↑
7 381.76 m
↓
↑
7 381.76 m
↓
S 40.979898°
W 45.087890°		 ← 7 378.02 m →
54 490 130 m²		 S 40.979898°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3748779296875 y=0.6248779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3748779296875 × 212)
    floor (0.3748779296875 × 4096)
    floor (1535.5)     		tx = 1535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6248779296875 × 212)
    floor (0.6248779296875 × 4096)
    floor (2559.5)     		ty = 2559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1535 / 2559 ti = "12/1535/2559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1535/2559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1535 ÷ 212
    1535 ÷ 4096     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2559 ÷ 212
    2559 ÷ 4096     		y = 0.624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783864182587158))-π/2
    2×atan(0.456638064812416)-π/2
    2×0.428360411901147-π/2
    0.856720823802294-1.57079632675     		φ = -0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1535 KachelY 2559 -0.78693214 -0.71407550 -45.087890 -40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 1536 KachelY 2559 -0.78539816 -0.71407550 -45.000000 -40.913512
    Unten links KachelX 1535 KachelY + 1 2560 -0.78693214 -0.71523415 -45.087890 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 1536 KachelY + 1 2560 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71407550--0.71523415) × R
    0.00115865000000004 × 6371000     		dl = 7381.75915000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71407550--0.71523415) × R
    0.00115865000000004 × 6371000     		dr = 7381.75915000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78539816) × cos(-0.71407550) × R
    0.00153398000000005 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 7385.43654455747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78539816) × cos(-0.71523415) × R
    0.00153398000000005 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 7378.0156320163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71407550)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.78539816--0.78693214)×0.000759329042398726×R²
    0.00153398000000005×0.000759329042398726×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759329042398726×40589641000000     		ar = 54490130.1909538m²