Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1535 / 3582
↖ ↑ ↗
← S 79.138261°
W 45.087890°		 ← 1 841.62 m → S 79.138261°
W 45.000000°		 →
↑
1 840.20 m
↓
↑
1 840.20 m
↓
S 79.154810°
W 45.087890°		 ← 1 838.85 m →
3 386 395 m²		 S 79.154810°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3748779296875 y=0.8746337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3748779296875 × 212)
    floor (0.3748779296875 × 4096)
    floor (1535.5)     		tx = 1535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8746337890625 × 212)
    floor (0.8746337890625 × 4096)
    floor (3582.5)     		ty = 3582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1535 / 3582 ti = "12/1535/3582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1535/3582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1535 ÷ 212
    1535 ÷ 4096     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3582 ÷ 212
    3582 ÷ 4096     		y = 0.87451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35312652854932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35312652854932))-π/2
    2×atan(0.0950714534471533)-π/2
    2×0.0947865598596324-π/2
    0.189573119719265-1.57079632675     		φ = -1.38122321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38122321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.138261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1535 KachelY 3582 -0.78693214 -1.38122321 -45.087890 -79.138261
    Oben rechts KachelX + 1 1536 KachelY 3582 -0.78539816 -1.38122321 -45.000000 -79.138261
    Unten links KachelX 1535 KachelY + 1 3583 -0.78693214 -1.38151205 -45.087890 -79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 1536 KachelY + 1 3583 -0.78539816 -1.38151205 -45.000000 -79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38122321--1.38151205) × R
    0.000288840000000068 × 6371000     		dl = 1840.19964000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38122321--1.38151205) × R
    0.000288840000000068 × 6371000     		dr = 1840.19964000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78539816) × cos(-1.38122321) × R
    0.00153398000000005 × 0.188439676666111 × 6371000     		do = 1841.6184311975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78539816) × cos(-1.38151205) × R
    0.00153398000000005 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 1838.8460966196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38122321)-sin(-1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188439676666111-0.188156003445525)×R²
    abs(-0.78539816--0.78693214)×0.000283673220586617×R²
    0.00153398000000005×0.000283673220586617×6371000²
    0.00153398000000005×0.000283673220586617×40589641000000     		ar = 3386394.77310631m²