Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1536 / 2560
S 40.979898°
W 45.000000°
← 7 378.02 m → S 40.979898°
W 44.912109°

7 374.31 m

7 374.31 m
S 41.046217°
W 45.000000°
← 7 370.59 m →
54 380 373 m²
S 41.046217°
W 44.912109°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3751220703125 y=0.6251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3751220703125 × 212)
    floor (0.3751220703125 × 4096)
    floor (1536.5)
    tx = 1536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6251220703125 × 212)
    floor (0.6251220703125 × 4096)
    floor (2560.5)
    ty = 2560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1536 / 2560 ti = "12/1536/2560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1536/2560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1536 ÷ 212
    1536 ÷ 4096
    x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2560 ÷ 212
    2560 ÷ 4096
    y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535
    Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535
    Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675
    φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1536 KachelY 2560 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 1537 KachelY 2560 -0.78386418 -0.71523415 -44.912109 -40.979898
    Unten links KachelX 1536 KachelY + 1 2561 -0.78539816 -0.71639163 -45.000000 -41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 1537 KachelY + 1 2561 -0.78386418 -0.71639163 -44.912109 -41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.71523415--0.71639163) × R
    0.00115747999999993 × 6371000
    dl = 7374.30507999957m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.71523415--0.71639163) × R
    0.00115747999999993 × 6371000
    dr = 7374.30507999957m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78386418) × cos(-0.71523415) × R
    0.00153397999999993 × 0.754939707695381 × 6371000
    do = 7378.01563201577m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78386418) × cos(-0.71639163) × R
    0.00153397999999993 × 0.754180133470919 × 6371000
    du = 7370.59232331359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.71639163))×
    abs(λ12)×abs(0.754939707695381-0.754180133470919)×
    abs(-0.78386418--0.78539816)×0.000759574224461934×
    0.00153397999999993×0.000759574224461934×6371000²
    0.00153397999999993×0.000759574224461934×40589641000000
    ar = 54380373.3553419m²