Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1536 / 511
↖ ↑ ↗
← N 66.583217°
E 90.000000°		 ← 7 767.90 m → N 66.583217°
E 90.175781°		 →
↑
7 778.86 m
↓
↑
7 778.86 m
↓
N 66.513260°
E 90.000000°		 ← 7 789.79 m →
60 510 566 m²		 N 66.513260°
E 90.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750244140625 y=0.249755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750244140625 × 211)
    floor (0.750244140625 × 2048)
    floor (1536.5)     		tx = 1536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249755859375 × 211)
    floor (0.249755859375 × 2048)
    floor (511.5)     		ty = 511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1536 / 511 ti = "11/1536/511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1536/511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1536 ÷ 211
    1536 ÷ 2048     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 511 ÷ 211
    511 ÷ 2048     		y = 0.24951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24951171875 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57386428832568))-π/2
    2×atan(4.82525840272422)-π/2
    2×1.36644634724365-π/2
    2.73289269448729-1.57079632675     		φ = 1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1536 KachelY 511 1.57079633 1.16209637 90.000000 66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 1537 KachelY 511 1.57386429 1.16209637 90.175781 66.583217
    Unten links KachelX 1536 KachelY + 1 512 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 1537 KachelY + 1 512 1.57386429 1.16087539 90.175781 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16209637-1.16087539) × R
    0.00122098000000004 × 6371000     		dl = 7778.86358000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16209637-1.16087539) × R
    0.00122098000000004 × 6371000     		dr = 7778.86358000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57386429) × cos(1.16209637) × R
    0.00306795999999987 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 7767.89604948768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57386429) × cos(1.16087539) × R
    0.00306795999999987 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 7789.78991324306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16209637)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57386429-1.57079633)×0.00112012144783774×R²
    0.00306795999999987×0.00112012144783774×6371000²
    0.00306795999999987×0.00112012144783774×40589641000000     		ar = 60510565.8796683m²