Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15362 / 23554
↖ ↑ ↗
← S 61.616843°
W 11.228028°		 ← 580.73 m → S 61.616843°
W 11.217041°		 →
↑
580.65 m
↓
↑
580.65 m
↓
S 61.622065°
W 11.228028°		 ← 580.63 m →
337 171 m²		 S 61.622065°
W 11.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468826293945312 y=0.718826293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468826293945312 × 215)
    floor (0.468826293945312 × 32768)
    floor (15362.5)     		tx = 15362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718826293945312 × 215)
    floor (0.718826293945312 × 32768)
    floor (23554.5)     		ty = 23554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15362 / 23554 ti = "15/15362/23554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15362/23554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15362 ÷ 215
    15362 ÷ 32768     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23554 ÷ 215
    23554 ÷ 32768     		y = 0.71881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.4376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37483028110321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37483028110321))-π/2
    2×atan(0.252882511103677)-π/2
    2×0.247689769332034-π/2
    0.495379538664068-1.57079632675     		φ = -1.07541679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07541679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.616843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15362 KachelY 23554 -0.19596605 -1.07541679 -11.228028 -61.616843
    Oben rechts KachelX + 1 15363 KachelY 23554 -0.19577430 -1.07541679 -11.217041 -61.616843
    Unten links KachelX 15362 KachelY + 1 23555 -0.19596605 -1.07550793 -11.228028 -61.622065
    Unten rechts KachelX + 1 15363 KachelY + 1 23555 -0.19577430 -1.07550793 -11.217041 -61.622065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07541679--1.07550793) × R
    9.11399999998785e-05 × 6371000     		dl = 580.652939999226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07541679--1.07550793) × R
    9.11399999998785e-05 × 6371000     		dr = 580.652939999226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(-1.07541679) × R
    0.000191749999999991 × 0.475365597552951 × 6371000     		do = 580.725272070361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(-1.07550793) × R
    0.000191749999999991 × 0.475285411668124 × 6371000     		du = 580.62731384616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07541679)-sin(-1.07550793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475365597552951-0.475285411668124)×R²
    abs(-0.19577430--0.19596605)×8.01858848274439e-05×R²
    0.000191749999999991×8.01858848274439e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.01858848274439e-05×40589641000000     		ar = 337171.396927752m²