Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1537 / 2558
↖ ↑ ↗
← S 40.847060°
W 44.912109°		 ← 7 392.85 m → S 40.847060°
W 44.824219°		 →
↑
7 389.15 m
↓
↑
7 389.15 m
↓
S 40.913512°
W 44.912109°		 ← 7 385.44 m →
54 599 509 m²		 S 40.913512°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3753662109375 y=0.6246337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3753662109375 × 212)
    floor (0.3753662109375 × 4096)
    floor (1537.5)     		tx = 1537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6246337890625 × 212)
    floor (0.6246337890625 × 4096)
    floor (2558.5)     		ty = 2558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1537 / 2558 ti = "12/1537/2558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1537/2558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1537 ÷ 212
    1537 ÷ 4096     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2558 ÷ 212
    2558 ÷ 4096     		y = 0.62451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782330201799316))-π/2
    2×atan(0.457339076362498)-π/2
    2×0.428940316918761-π/2
    0.857880633837521-1.57079632675     		φ = -0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1537 KachelY 2558 -0.78386418 -0.71291569 -44.912109 -40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 1538 KachelY 2558 -0.78233020 -0.71291569 -44.824219 -40.847060
    Unten links KachelX 1537 KachelY + 1 2559 -0.78386418 -0.71407550 -44.912109 -40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 1538 KachelY + 1 2559 -0.78233020 -0.71407550 -44.824219 -40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71291569--0.71407550) × R
    0.00115980999999998 × 6371000     		dl = 7389.14950999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71291569--0.71407550) × R
    0.00115980999999998 × 6371000     		dr = 7389.14950999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78233020) × cos(-0.71291569) × R
    0.00153398000000005 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 7392.85495703536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78233020) × cos(-0.71407550) × R
    0.00153398000000005 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 7385.43654455747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71291569)-sin(-0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.75569903673778)×R²
    abs(-0.78233020--0.78386418)×0.000759073228758012×R²
    0.00153398000000005×0.000759073228758012×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759073228758012×40589641000000     		ar = 54599508.8242355m²