Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15376 / 19472
↖ ↑ ↗
← S 32.101189°
W 11.074219°		 ← 1 034.86 m → S 32.101189°
W 11.063232°		 →
↑
1 034.84 m
↓
↑
1 034.84 m
↓
S 32.110496°
W 11.074219°		 ← 1 034.76 m →
1 070 866 m²		 S 32.110496°
W 11.063232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469253540039062 y=0.594253540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469253540039062 × 215)
    floor (0.469253540039062 × 32768)
    floor (15376.5)     		tx = 15376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594253540039062 × 215)
    floor (0.594253540039062 × 32768)
    floor (19472.5)     		ty = 19472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15376 / 19472 ti = "15/15376/19472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15376/19472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15376 ÷ 215
    15376 ÷ 32768     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19472 ÷ 215
    19472 ÷ 32768     		y = 0.59423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.592116584106934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592116584106934))-π/2
    2×atan(0.553155245211266)-π/2
    2×0.505262436086418-π/2
    1.01052487217284-1.57079632675     		φ = -0.56027145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56027145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.101189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15376 KachelY 19472 -0.19328158 -0.56027145 -11.074219 -32.101189
    Oben rechts KachelX + 1 15377 KachelY 19472 -0.19308983 -0.56027145 -11.063232 -32.101189
    Unten links KachelX 15376 KachelY + 1 19473 -0.19328158 -0.56043388 -11.074219 -32.110496
    Unten rechts KachelX + 1 15377 KachelY + 1 19473 -0.19308983 -0.56043388 -11.063232 -32.110496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56027145--0.56043388) × R
    0.000162430000000047 × 6371000     		dl = 1034.8415300003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56027145--0.56043388) × R
    0.000162430000000047 × 6371000     		dr = 1034.8415300003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19308983) × cos(-0.56027145) × R
    0.000191750000000018 × 0.847110889306722 × 6371000     		do = 1034.8639114796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19308983) × cos(-0.56043388) × R
    0.000191750000000018 × 0.847024560204422 × 6371000     		du = 1034.75844845981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56027145)-sin(-0.56043388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847110889306722-0.847024560204422)×R²
    abs(-0.19308983--0.19328158)×8.63291022999979e-05×R²
    0.000191750000000018×8.63291022999979e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.63291022999979e-05×40589641000000     		ar = 1070865.5870959m²