Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1538 / 2562
↖ ↑ ↗
← S 41.112469°
W 44.824219°		 ← 7 363.17 m → S 41.112469°
W 44.736328°		 →
↑
7 359.46 m
↓
↑
7 359.46 m
↓
S 41.178654°
W 44.824219°		 ← 7 355.74 m →
54 161 608 m²		 S 41.178654°
W 44.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3756103515625 y=0.6256103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3756103515625 × 212)
    floor (0.3756103515625 × 4096)
    floor (1538.5)     		tx = 1538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6256103515625 × 212)
    floor (0.6256103515625 × 4096)
    floor (2562.5)     		ty = 2562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1538 / 2562 ti = "12/1538/2562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1538/2562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1538 ÷ 212
    1538 ÷ 4096     		x = 0.37548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2562 ÷ 212
    2562 ÷ 4096     		y = 0.62548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78233020} λ = -0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788466124950684))-π/2
    2×atan(0.454541470659998)-π/2
    2×0.426624191408632-π/2
    0.853248382817263-1.57079632675     		φ = -0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1538 KachelY 2562 -0.78233020 -0.71754794 -44.824219 -41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 1539 KachelY 2562 -0.78079622 -0.71754794 -44.736328 -41.112469
    Unten links KachelX 1538 KachelY + 1 2563 -0.78233020 -0.71870309 -44.824219 -41.178654
    Unten rechts KachelX + 1 1539 KachelY + 1 2563 -0.78079622 -0.71870309 -44.736328 -41.178654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71754794--0.71870309) × R
    0.00115514999999999 × 6371000     		dl = 7359.46064999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71754794--0.71870309) × R
    0.00115514999999999 × 6371000     		dr = 7359.46064999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78233020--0.78079622) × cos(-0.71754794) × R
    0.00153397999999993 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 7363.16665835584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78233020--0.78079622) × cos(-0.71870309) × R
    0.00153397999999993 × 0.752660259216756 × 6371000     		du = 7355.73861262437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71754794)-sin(-0.71870309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.752660259216756)×R²
    abs(-0.78079622--0.78233020)×0.000760058930876939×R²
    0.00153397999999993×0.000760058930876939×6371000²
    0.00153397999999993×0.000760058930876939×40589641000000     		ar = 54161608.0990718m²