Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1539 / 2563
↖ ↑ ↗
← S 41.178654°
W 44.736328°		 ← 7 355.74 m → S 41.178654°
W 44.648437°		 →
↑
7 352.07 m
↓
↑
7 352.07 m
↓
S 41.244773°
W 44.736328°		 ← 7 348.31 m →
54 052 599 m²		 S 41.244773°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3758544921875 y=0.6258544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3758544921875 × 212)
    floor (0.3758544921875 × 4096)
    floor (1539.5)     		tx = 1539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6258544921875 × 212)
    floor (0.6258544921875 × 4096)
    floor (2563.5)     		ty = 2563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1539 / 2563 ti = "12/1539/2563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1539/2563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1539 ÷ 212
    1539 ÷ 4096     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2563 ÷ 212
    2563 ÷ 4096     		y = 0.625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790000105738525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790000105738525))-π/2
    2×atan(0.453844747293479)-π/2
    2×0.426046616727631-π/2
    0.852093233455262-1.57079632675     		φ = -0.71870309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71870309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.178654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1539 KachelY 2563 -0.78079622 -0.71870309 -44.736328 -41.178654
    Oben rechts KachelX + 1 1540 KachelY 2563 -0.77926224 -0.71870309 -44.648437 -41.178654
    Unten links KachelX 1539 KachelY + 1 2564 -0.78079622 -0.71985708 -44.736328 -41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 1540 KachelY + 1 2564 -0.77926224 -0.71985708 -44.648437 -41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71870309--0.71985708) × R
    0.00115399000000005 × 6371000     		dl = 7352.07029000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71870309--0.71985708) × R
    0.00115399000000005 × 6371000     		dr = 7352.07029000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.77926224) × cos(-0.71870309) × R
    0.00153398000000005 × 0.752660259216756 × 6371000     		do = 7355.7386126249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.77926224) × cos(-0.71985708) × R
    0.00153398000000005 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 7348.30822561592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71870309)-sin(-0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752660259216756-0.751899960719653)×R²
    abs(-0.77926224--0.78079622)×0.000760298497103462×R²
    0.00153398000000005×0.000760298497103462×6371000²
    0.00153398000000005×0.000760298497103462×40589641000000     		ar = 54052598.9495566m²