Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1539 / 2571
↖ ↑ ↗
← S 41.705729°
W 44.736328°		 ← 7 296.23 m → S 41.705729°
W 44.648437°		 →
↑
7 292.50 m
↓
↑
7 292.50 m
↓
S 41.771312°
W 44.736328°		 ← 7 288.79 m →
53 180 655 m²		 S 41.771312°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3758544921875 y=0.6278076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3758544921875 × 212)
    floor (0.3758544921875 × 4096)
    floor (1539.5)     		tx = 1539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6278076171875 × 212)
    floor (0.6278076171875 × 4096)
    floor (2571.5)     		ty = 2571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1539 / 2571 ti = "12/1539/2571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1539/2571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1539 ÷ 212
    1539 ÷ 4096     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2571 ÷ 212
    2571 ÷ 4096     		y = 0.627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.25537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80227195204126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80227195204126))-π/2
    2×atan(0.448309269047765)-π/2
    2×0.421447023639118-π/2
    0.842894047278235-1.57079632675     		φ = -0.72790228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72790228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.705729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1539 KachelY 2571 -0.78079622 -0.72790228 -44.736328 -41.705729
    Oben rechts KachelX + 1 1540 KachelY 2571 -0.77926224 -0.72790228 -44.648437 -41.705729
    Unten links KachelX 1539 KachelY + 1 2572 -0.78079622 -0.72904692 -44.736328 -41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 1540 KachelY + 1 2572 -0.77926224 -0.72904692 -44.648437 -41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72790228--0.72904692) × R
    0.00114464000000003 × 6371000     		dl = 7292.50144000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72790228--0.72904692) × R
    0.00114464000000003 × 6371000     		dr = 7292.50144000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.77926224) × cos(-0.72790228) × R
    0.00153398000000005 × 0.746571667546648 × 6371000     		do = 7296.23488794184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.77926224) × cos(-0.72904692) × R
    0.00153398000000005 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 7288.78764123113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72790228)-sin(-0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746571667546648-0.745809643916539)×R²
    abs(-0.77926224--0.78079622)×0.000762023630109798×R²
    0.00153398000000005×0.000762023630109798×6371000²
    0.00153398000000005×0.000762023630109798×40589641000000     		ar = 53180654.7046615m²