Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1539 / 517
↖ ↑ ↗
← N 66.160510°
E 90.527344°		 ← 7 900.01 m → N 66.160510°
E 90.703125°		 →
↑
7 911.06 m
↓
↑
7 911.06 m
↓
N 66.089364°
E 90.527344°		 ← 7 922.20 m →
62 585 261 m²		 N 66.089364°
E 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751708984375 y=0.252685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751708984375 × 211)
    floor (0.751708984375 × 2048)
    floor (1539.5)     		tx = 1539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252685546875 × 211)
    floor (0.252685546875 × 2048)
    floor (517.5)     		ty = 517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1539 / 517 ti = "11/1539/517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1539/517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1539 ÷ 211
    1539 ÷ 2048     		x = 0.75146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 517 ÷ 211
    517 ÷ 2048     		y = 0.25244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58000021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25244140625 × 2 - 1) × π
    0.4951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55545651887158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58000021} λ = 1.58000021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55545651887158))-π/2
    2×atan(4.73724867501029)-π/2
    2×1.36275753542635-π/2
    2.72551507085269-1.57079632675     		φ = 1.15471874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58000021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15471874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.160510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1539 KachelY 517 1.58000021 1.15471874 90.527344 66.160510
    Oben rechts KachelX + 1 1540 KachelY 517 1.58306817 1.15471874 90.703125 66.160510
    Unten links KachelX 1539 KachelY + 1 518 1.58000021 1.15347701 90.527344 66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 1540 KachelY + 1 518 1.58306817 1.15347701 90.703125 66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15471874-1.15347701) × R
    0.00124173000000005 × 6371000     		dl = 7911.06183000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15471874-1.15347701) × R
    0.00124173000000005 × 6371000     		dr = 7911.06183000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58000021-1.58306817) × cos(1.15471874) × R
    0.00306796000000009 × 0.40417581336684 × 6371000     		do = 7900.00959998966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58000021-1.58306817) × cos(1.15347701) × R
    0.00306796000000009 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 7922.20357054947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15471874)-sin(1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40417581336684-0.405311288708903)×R²
    abs(1.58306817-1.58000021)×0.00113547534206287×R²
    0.00306796000000009×0.00113547534206287×6371000²
    0.00306796000000009×0.00113547534206287×40589641000000     		ar = 62585261.3814398m²